Mācies Vieglāk
Trigonometriskās izteiksmes

Sadalīšana reizinātājos

TeorijaUzdevumi

Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes

Sarežģītu trig. vienādojumu nekad neatrisina "uzreiz" — tas jāpārveido reizinātāju formā vai jāreducē līdz viena mainīgā algebriskam vienādojumam. Tiek izmantotas trīs metodes.

1. Sadalīšana reizinātājos

Ja izteiksmē var iznest kopīgu reizinātāju vai izmantot kvadrātu formulas, vienādojumu pārvērš reizinājuma formā un izmanto principu:

cos⁡xcos⁡2x=cos⁡x\cos x \cos 2x = \cos x

1
Pārnesam visu uz vienu pusi, lai labajā pusē iegūtu nulli — tikai tad vienādojumu var sadalīt reizinātājos.:
cos⁡xcos⁡2x−cos⁡x=0\cos x \cos 2x - \cos x = 0
2
Abos locekļos ir kopīgais reizinātājs cos⁡x\cos x — iznesam to pirms iekavām.:
cos⁡x (cos⁡2x−1)=0\cos x \,(\cos 2x - 1) = 0
3
Reizinājums ir vienāds ar nulli, tātad vismaz vienam reizinātājam jābūt nullei. Risinām katru atsevišķi.:
cos⁡x=0\cos x = 0
x=π2+πn,  n∈Zx = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}
cos⁡2x−1=0\cos 2x - 1 = 0
cos⁡2x=1\cos 2x = 1
2x=2πn    ∣:22x = 2\pi n \;\;|:2
x=πn,  n∈Zx = \pi n, \; n \in \mathbb{Z}
4
Apvienojam abus risinājumus vienā atbildē.:
[x=π2+πn,  n∈Zx=πn,  n∈Z\left[\begin{array}{l} x = {\color{#1865f2}\dfrac{\pi}{2} + \pi n},\; n \in \mathbb{Z} \\[6pt] x = {\color{#1865f2}\pi n},\; n \in \mathbb{Z} \end{array}\right.
1
Iznest kopīgo reizinātāju sin⁡x\sin x:
sin⁡x(2sin⁡x−1)=0\sin x(2\sin x - 1) = 0
2
Risināt katru reizinātāju:
sin⁡x=0\sin x = 0
x=πn,  n∈Zx = \pi n, \; n \in \mathbb{Z}
2sin⁡x−1=02\sin x - 1 = 0
sin⁡x=12\sin x = \dfrac{1}{2}
[x=π6+2πn,  n∈Zx=5π6+2πn,  n∈Z\left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \\[4pt] x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \end{array}\right.
3
Atbilde (trīs risinājumi):
x=πn;  x=π6+2πn;x = {\color{#1865f2}\pi n};\; x = {\color{#1865f2}\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n};x=5π6+2πn,  n∈Zx = {\color{#1865f2}\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n},\; n \in \mathbb{Z}

2. Grupēšana

Ja nav acīmredzama kopīgā reizinātāja, locekļus sagrupē pa pāriem — no katras grupas iznest savu reizinātāju, pēc tam kopīgo.

sin⁡xcos⁡x+2cos⁡x−sin⁡x−2=0\sin x \cos x + 2\cos x - \sin x - 2 = 0

1
Sagrupēt locekļus pa pāriem:
(sin⁡xcos⁡x−sin⁡x)+(2cos⁡x−2)=0(\sin x \cos x - \sin x) + (2\cos x - 2) = 0
2
Iznest reizinātāju no katras grupas:
sin⁡x(cos⁡x−1)+2(cos⁡x−1)=0\sin x(\cos x - 1) + 2(\cos x - 1) = 0
3
Iznest kopīgo reizinātāju (cos⁡x−1)(\cos x - 1):
(cos⁡x−1)(sin⁡x+2)=0(\cos x - 1)(\sin x + 2) = 0
4
Pielidzināt katru reizinātāju ar 0 un risināt:
cos⁡x−1=0\cos x - 1 = 0
cos⁡x=1\cos x = 1
x=2πn,  n∈Zx = 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}
sin⁡x+2=0\sin x + 2 = 0
sin⁡x=−2\sin x = -2
∅ (neeksisteˉ), jo ∣−2∣>1\varnothing \text{ (neeksistē), jo } |{-2}| > 1
5
Atbilde:
x=2πn,  n∈Zx = {\color{#1865f2} 2\pi n},\; n \in \mathbb{Z}
1
Iznest kopīgo reizinātāju sin⁡x\sin x:
sin⁡x(1+cos⁡x)=0\sin x(1 + \cos x) = 0
2
Risināt katru reizinātāju:
sin⁡x=0\sin x = 0
x=πn,  n∈Zx = \pi n, \; n \in \mathbb{Z}
cos⁡x=−1\cos x = -1
x=π+2πn,  n∈Zx = \pi + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}
3
Atbilde (x=π+2πnx = \pi + 2\pi n jau ietverts x=πnx = \pi n pie nepāra n):
x=πn,  n∈Zx = {\color{#1865f2} \pi n},\; n \in \mathbb{Z}

3. Substitūcijas metode

Ja vienādojumā ir gan sin⁡2x\sin^2 x, gan cos⁡x\cos x (vai otrādi), izmanto identitāti, lai izteiktu visu caur vienu funkciju, pēc tam ievieš mainīgo tt un risina kvadrātvienādojumu.

sin⁡2x=t\sin^2 x = t
cos⁡2x=t\cos^2 x = t

Pēc substitūcijas iegūst algebrisku vienādojumu pret tt. Atceries: ∣t∣≤1|t| \leq 1.

2sin⁡2x−cos⁡x−1=02\sin^2 x - \cos x - 1 = 0

1
Aizstāt sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2 x = 1 - \cos^2 x:
2(1−cos⁡2x)−cos⁡x−1=02(1 - \cos^2 x) - \cos x - 1 = 0
2
Savilkt līdzīgos:
2−2cos⁡2x−cos⁡x−1=02 - 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0
2cos⁡2x+cos⁡x−1=02\cos^2 x + \cos x - 1 = 0
3
Ieviest t=cos⁡xt = \cos x, atrisināt kvadrātvienādojumu:
2t2+t−1=02t^2 + t - 1 = 0
(2t−1)(t+1)=0(2t - 1)(t + 1) = 0
t1=12,  t2=−1t_1 = \dfrac{1}{2},\; t_2 = -1
4
Atgriezties no tt uz cos⁡x\cos x:
cos⁡x=12\cos x = \tfrac{1}{2}
x=±π3+2πn,  n∈Zx = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}
cos⁡x=−1\cos x = -1
x=π+2πn,  n∈Zx = \pi + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}
5
Atbilde:
[x=±π3+2πn,  n∈Zx=π+2πn,  n∈Z\left[\begin{array}{l} x = {\color{#1865f2}\pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n},\; n \in \mathbb{Z} \\[6pt] x = {\color{#1865f2}\pi + 2\pi n},\; n \in \mathbb{Z} \end{array}\right.
1
Aizstāt cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2 x = 1 - \sin^2 x:
3(1−sin⁡2x)+2sin⁡x−3=03(1 - \sin^2 x) + 2\sin x - 3 = 0
2
Savilkt līdzīgos:
3−3sin⁡2x+2sin⁡x−3=03 - 3\sin^2 x + 2\sin x - 3 = 0
−3sin⁡2x+2sin⁡x=0-3\sin^2 x + 2\sin x = 0
3
Iznest sin⁡x\sin x:
sin⁡x(2−3sin⁡x)=0\sin x(2 - 3\sin x) = 0
4
Risināt katru reizinātāju:
sin⁡x=0\sin x = 0
x=πn,  n∈Zx = \pi n, \; n \in \mathbb{Z}
sin⁡x=23\sin x = \tfrac{2}{3}
[x=arcsin⁡23+2πn,  n∈Zx=π−arcsin⁡23+2πn,  n∈Z\left[\begin{array}{l} x = \arcsin\dfrac{2}{3} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \\[4pt] x = \pi - \arcsin\dfrac{2}{3} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \end{array}\right.
5
Atbilde:
x=πn;  x=arcsin⁡23+2πn;x = {\color{#1865f2}\pi n};\; x = {\color{#1865f2}\arcsin\dfrac{2}{3} + 2\pi n};
x=π−arcsin⁡23+2πn,  n∈Zx = {\color{#1865f2}\pi - \arcsin\dfrac{2}{3} + 2\pi n},\; n \in \mathbb{Z}
IepriekšējāTrigonometriskie pamatvienādojumi